\subsection{两圆的公切线}\label{subsec:czjh2-7-14}

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，
给我们以一条直线和两个圆同时相切的形象（图 \ref{fig:czjh2-7-54}）。

和两个圆都相切的直线，叫做\zhongdian{两圆的公切线}。
两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做\zhongdian{外公切线}（如图 \ref{fig:czjh2-7-54} 甲）。
两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做\zhongdian{内公切线}（如图 \ref{fig:czjh2-7-54} 乙）。
公切线上的两个切点的距离叫做\zhongdian{公切线的长}。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5.5cm]{../pic/czjh2-ch7-54-a.png}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5.5cm]{../pic/czjh2-ch7-54-b.png}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-54}
\end{figure}



下面我们说明两圆公切线的作法。

两圆外离、外切或相交时，外公切线的作法如下。

已知： $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的半径分别为 $R$ 和 $r$（$R > r$），
$O_1O_2 > R - r$ （图 \ref{fig:czjh2-7-55}）。

求作： $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的外公切线。

分析：前面已经学过经过一点作一个圆的切线，这启发我们想办法把作两个圆的公切线的问题，
化为过一个点作一个圆的切线的问题来解决。
假设把 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的半径同时缩短 $r$，
那么 $\yuan\,O_1$ 变为与它同心，半径是 $R-r$ 的圆，而 $\yuan\,O_2$ 变为一个点 $O_2$。
因为过点 $O_2$ 能够作直线与半径为 $R-r$ 的圆相切，那么只要把切线平行移动 $r$，
就可以得到 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的公切线（图 \ref{fig:czjh2-7-55}）。

\zuofa 1. 以 $O_1$ 为圆心， $R-r$ 为半径作圆， 从 $O_2$ 作过个圆的切线 $O_2E$， $E$ 为切点。

2. 连结 $O_1E$， 并延长交 $\yuan\,O_1$ 于点 $A$。

3. 经过圆心 $O_2$ 作 $O_2B \pingxing O_1A$， 并交 $\yuan\,O_2$ 于点 $B$。

4. 作直线 $AB$。

$AB$ 就是所求的一条公切线。

\zhengming 由作法， $O_2E \perp O_1A$， $O_2B \pingxing O_1A$，
$EA = O_1A - O_1E = R - (R-r) = r = O_2B$，
所以，四边形 $EO_2BA$ 是矩形。于是， $O_1A \perp AB$， $O_2B \perp AB$。
因此，$AB$ 是 $\yuan\,O_1$ 的切线， 又是 $\yuan\,O_2$ 的切线，
即 $AB$ 是 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的外公切线。

由作法，还可以知道，从 $O_2$ 向以 $O_1$ 为圆心， $R-r$ 为半径的圆，
可以作出两条切线（ $O_2E$ 和 $O_2F$），因此，可以作出 $\yuan\,O_1$ 和
$\yuan\,O_1$ 的两条外公切线（$AB$ 和 $CD$）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-55}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-55}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7.2cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-56}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-56}
    \end{minipage}
\end{figure}

仿照上面的分析，可以得出两圆外离（$O_1O_2 > R+r$）时的内公切线的作法（图 \ref{fig:czjh2-7-56}）。

两圆外切（或内切）时，经过切点作直线垂直于它们的连心线，就得到它们的内公切线（或外公切线）。

从公切线的作法可知，如果两个圆有两条外公切线或内公切线，那么它们的长相等。

\begin{dingli}[定理]
    两圆的两条外公切线的长相等；
    两圆的两条内公切线的长也相等。
\end{dingli}


\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch7-57}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-57}
\end{wrapfigure}

\liti[0] 如图 \ref{fig:czjh2-7-57}， $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 外切于点 $A$，
$BC$ 是 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的公切线， $B$、$C$ 为切点。

求证： $AB \perp AC$。

\zhengming 过点 $A$ 作 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的内公切线交 $BC$ 于点 $O$。

因为 $OB$、$OA$ 是 $\yuan\,O_1$ 的两条切线，

$\therefore$ \quad $OB = OA$。

同理 \quad $OC = OA$。

$\therefore$ \quad $OB = OA = OC$。

$\therefore$ \quad $AB \perp AC$。



\begin{lianxi}


\xiaoti{已知 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的半径分别为 $R = 4$ 屋米， $r = 1.5$ 厘米，$O_1O_2 = 6.5$ 厘米。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{作 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的外公切线，量出外公切线的长（精确到 0.1 厘米）
        及外公切线与连心线所成的角度（精确到 $1^\circ$）；
    }

    \xxt{计算出 （1） 中的长度和角度。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{已知 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的半径分别为 $R = 2.5$ 厘米， $r = 1.5$ 厘米，
    $O_1O_2 = 6$ 厘米， 作 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的内公切线。
}

\end{lianxi}

